6.1.1 Definición de Limites:

Una definicion informal del limite matematico indica que el limite de una funcion f(x) es T cuando x tiende a s si se puede encontrar para cada ocasion un x cerca de s de manera tal que el valor de f(x) sea tan proximo a T como se desee. A igual que otros conceptos matematicos los limites cumplen con diversas propiedades generales que ayudan a simplicar los cálculos.

6.1.2 Historia de los Limites:

Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta. Sin embargo, su trabajo no fueri conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no en una manera sistemática. La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850s y 1860s y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites. La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debido a Hardy en su libro A Course of Puré Mathematics en 1908.

6.1.3 Cuales matemáticos fueron los primeros que hablaron sobre los Limites:

Sir Isaac Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. Newton también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes. Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades instantáneas de una trayectoria conocida.

Gottfried Wilhelm Leibniz La invención del cálculo infinitesimal es atribuida tanto a Leibniz como a Newton. De acuerdo con los cuadernos de Leibniz, el 11 de noviembre de 1675 tuvo lugar un acontecimiento fundamental, ese día empleó por primera vez el cálculo integral para encontrar el área bajo la curva de una función y=f(x). Leibniz introdujo varias notaciones usadas en la actualidad, tal como, por ejemplo, el signo "integral" ∫, que representa una S alargada, derivado del latín "summa", y la letra "d" para referirse a los "diferenciales", del latín "differentia". Esta ingeniosa y sugerente notación para el cálculo es probablemente su legado matemático más perdurable. Leibniz no publicó nada acerca de su Calculus hasta 1684. 

1.1 Historia de la Geometría

GEOMETRÍA (Del griego geo "tierra" metrein "medir") rama de las matemáticas que se preocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volúmenes de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría de espacio con cuatro o más dimensiones, geometría fractal y geometría no euclidiana.

1.2 Grandes Físico, Filósofos y Matemáticos

Hipócrates de Quios (siglo V a. C.)
La tendencia de abstracción y sistematización de la Geometría encontró un fuerte impulso en la obra de Hipócrates de Quios, el geómetra más importante del siglo V a. C.. Escribió una obra de carácter enciclopédico titulada "Elementos" para aglutinar todo el saber matemático de su época. Más tarde incluida en los libros 1º y 2º de la colección que Euclides tituló con igual nombre.
Partiendo de un sistema de axiomas o verdades a priori, que tenían carácter intuitivo utilizó por primera vez el conocido esquema Premisa-Teorema-Demostración. Introdujo la designación de figuras geométricas por letras, el método de demostración por el absurdo.
Fue el primero en calcular áreas de regiones delimitadas por segmentos curvilíneos no rectos, en relación con el problema de la cuadratura del círculo. Para ello se valió del teorema que afirma “la razón entre el área de dos círculos es la misma que la razón entre el cuadrado de sus radios”. En relación con la duplicación del cubo probó que esta era posible siempre que pudieran encontrarse medias proporcionales entre un número y su duplo. 
Nació en la isla de Quios, en la segunda mitad del siglo V a.C. Según Aristóteles, aunque destacado como geómetra, era estúpido y falto de sentido común en otros aspectos. Fue estafado por los piratas y para recuperar su fortuna se trasladó a Atenas donde debió dedicarse a la enseñanza para sobrevivir.

A Hipócrates debemos un primer tratado sobre geometría en el que se exponen teoremas a partir de unos axiomas y postulados. Aunque no nos ha llegado su obra directamente, sabemos de ella a través de los relatos de Eudemo, 335 a.C., resumidos por Simplicio en el 530 d.C. También podemos encontrar parte del trabajo de Hipócrates entre los teoremas que aparecen en los "Elementos" de Euclides.

Entre los mayores logros de Hipócrates está el haber demostrado que las áreas de dos círculos se hallan entre sí en la misma razón que los cuadrados de sus diámetros. Esto es equivalente a haber descubierto que el área de un círculo es , sin determinar el valor de . Es posible que llegara a esta conclusión considerando el círculo como el límite de un polígono regular. Presentándose aquí un primer ejemplo de lo que más tarde sería el método exhaustivo.

Uno de los problemas más importantes para los matemáticos griegos, como ya se ha señalado era el de la cuadratura del círculo o de cualquier superficie en general. Debemos partir de la base de que para estos matemáticos cualquier demostración o construcción geométrica debería realizarse sólo con regla o compás. De hecho la cuadratura se define así:

La cuadratura de una figura plana es la construcción con regla y compás de un cuadrado con la misma superficie de la figura plana original.

En la época de Hipócrates se habían conseguido cuadrar los polígonos más irregulares, pero siempre construidos a base de líneas rectas. Nadie había conseguido la cuadratura de una figura con líneas curva y empezaba a intuirse que resultaría imposible. Sin embargo, Hipócrates fue el primero en cuadrar una figura con lados curvados, conocida como lúnula. Pero la lúnula cuadrada por Hipócrates fue una especialmente construida por el



Más tarde Hipócrates consiguió cuadrar otros dos casos particulares de lúnula. En 1711, Euler encontró otros dos casos de lúnulas cuadrables . Ya en el siglo XX N.G. Tschebatorew y A.W. Dorodnow demostraron que estas cinco lúnulas eran las únicas que se podían cuadrar con regla y compás. Si a estos unimos la demostración realizada por Lindemann en 1882, de la imposibilidad de cuadrar el círculo, podemos concluir que la primera intuición de los matemáticos griegos era cierta, y que la cuadratura de figuras curvilíneas con regla y compás era imposible salvo algunas excepciones.

1.3 Definición de Geometría

Geometría: Parte de las matemáticas que se encarga de las propiedades y medida de la extensión. Se divide en:

• Geometría Analítica: Estudia las líneas y superficies por medio de ecuaciones.
• Geometría del Espacio: Considera a las figuras que no tienen todos sus puntos en un mismo plano.
• Geometría Descriptiva: Resuelve los problemas de la geometría por medio de operaciones hechas en un plano.
• Geometría Plana: Considera a las figuras cuyos puntos estan  todos en un solo plano.

2.1 Punto, Recta, Semirrecta y Segmento

PUNTO: El punto es una figura geométrica adimensional, no tiene longitud, área, volumen, ni otro angulo adimensional.

RECTA: Se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión o sea no posee principio ni fin.

SEMIRRECTA: También llamada media linea. Es una linea recta que se extiende desde un punto. El  P  es el punto inicial de la semirrecta.

SEGMENTO: Es un fragmento de recta que esta comprendido entre dos punto llamados extremos. Así dados dos puntos A y B se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta